La teoría de conjuntos borrosos fue iniciada por Zadeh a comienzo de los 60 (1964, 1965) (ver Bellman et al. (1964)). En 1951, Menger (1951) utilizó explícitamente la relación borrosa "máximo-producto" pero con intrepretación probabilística.

Desde 1965, la teoría de conjuntos borrosos ha sido desarrollada considerablemente por Zadeh y muchos otros investigadores. Esta teoría se ha empezado a aplicar a un amplio rango de áreas científicas.

Se han publicado muchos libros sobre la teoría de conjuntos borrosos, como un libro orientado matemáticamente por Negoita y Ralescu (1975). Hay también dos colecciones de investigaciones editadas por Gupta et al. y Zadeh et al. (1975) y (1977).

Aparte de las excelentes investigaciones de Zadeh, otros artículos introductorios son aquellos presentados por Gusev y Smirnova (1973), Ponsard (1975), Kandel y Byatt (1978), Chang (1972), Gale (1975), Watanabe(1969), y Aizerman (1977).

Están disponibles en la literatura varias citas bibliográficas sobre conjuntos borrosos como De Kerf (1975), Kandel y Davis (1978), Gaines y Kohout (1977)  y Kaufmann (1980).

En las secciones siguientes, se exponen las fórmulas matemáticas correspondientes a la teoría de los conjuntos borrosos. Se muestran las definiciones básicas de los conjuntos clásicos, así como las definiciones y distintos tipos de conjuntos borrosos. También se explican las operaciones entre conjuntos borrosos, las normas-t y normas-s. Se revisan las propiedades y las relaciones borrosas y la composición de relaciones borrosas. Se analiza también el razonamiento aproximado y sus características.

3. Teoría de Conjuntos Clásicos

Un conjunto clásico es una colección de objetos de cualquier tipo. Lo que se denomina teoría de conjuntos fue propuesta por Georg Cantor (1845-1918), un matemático alemán. En la teoría de conjuntos, el conjunto y el elemento son primitivos. No están definidos en términos de otros conceptos. Sea A un conjunto, "x ∈ A" significa que x es un elemento en el conjunto A y "x ∉ A" significa que x no pertenece al conjunto A. El conjunto A está especificado totalmente por los elementos que contiene. Por ejemplo, no hay diferencia entre un conjunto que consta de los elementos 2, 3, 5 y 7 de un conjunto de todos los números primos menores de 11.

Sea X un universo de discurso del cual el conjunto A es un subconjunto, esto es

A ⊆ X

(1)

En la teoría clásica de conjuntos, cualquier elemento x perteneciente a X, pertenece o no al subconjunto A de manera clara e inequívoca, sin que exista ninguna otra posibilidad al margen de estas dos.

La pertenencia o no de un elemento arbitrario x a un subconjunto A viene dada en la mayoría de los casos, por la verificación o no de un predicado que caracteriza a A y da lugar a una bipartición del universo de discurso X.

3.1  Función de Pertenencia

El concepto de pertenencia o no de un elemento a un conjunto A puede expresarse numéricamente mediante la función de pertenencia, también llamada a veces función característica. Esta función asigna a cada elemento x del universo de discurso un dígito binario (1 ó 0) según x pertenezca o no al conjunto A

μA:X→{0,1} ||μA(x)= 1 cuando x ∈ A 0 cuando x ∉ A

(2)

cualquier conjunto A ⊂ X se puede definir por los pares que forman cada elemento x del universo y su función de pertenencia, expresándose de a la siguiente forma:

A = {(x,μA(x))∀x ∈ X}

(3)

3.2  Operaciones entre Conjuntos

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B incluidos en X es posible definir nuevos conjuntos a partir de ellos o, lo que es lo mismo, es posible operar con ellos. A continuación se describen las operaciones básicas entre conjuntos:

• Intersección: Se denota por A ∩ B y se define como el conjunto formado por aquellos elementos de X que pertenecen a A y B simultáneamente:
  

  x ∈ A ∩ B si x ∈ A y x ∈ B

  (4)
• Unión: Es el conjunto formado por aquellos elementos que pertencen a A, o a B, o bien a ambos simultáneamente. Se denota por A∪B.
  

  x ∈ A∪B  si  x ∈ A  o  x ∈ B

  (5)
• Complemento: El complemento de A se denota por Ā, y está formado por todos los elementos de X que no pertencen a A
  

  x  ∈ Ā  si  x   ∉ A

  (6)

  μĀ(x) = 1−μA(x)

  (7)

Las tres operaciones se muestran en la tabla.

Table 1: Operaciones entre conjuntos clásicos

4. Teoría de Conjuntos Borrosos

En la teoría de conjuntos borrosos, los conjuntos clásicos se denominan conjuntos crisp, con el fin de distinguirlos de los conjuntos borrosos. Sea A un conjunto clásico definido en el universo X, entonces para cualquier elemento x dentro de X, x ∈ A o x ∉ A. En la teoría de conjuntos borrosos esta propiedad está generalizada, por lo tanto, en un conjunto borroso A, no es necesario que x ∈ A o x ∉ A.

En los últimos años se han introducido varias definiciones que presentan la generalización de la propiedad de pertenencia Dubios (1987), Pawlak (1985), Shafer (1976, pero parece que la teoría de conjuntos borrosos es la más intuitiva entre el resto de teorías y teoremas existentes.

La generalización se realiza como sigue.

4.1  Conjuntos Borrosos

Para cualquier conjunto clásico A es posible definir la función característica μ_A:X→{0,1} como en la ecuación (2). En la teoría de conjuntos borrosos, la función característica está generalizada de manera que la función de pertenencia asigna un valor para cada x ∈ X en el intervalo [0,1] en vez del conjunto de dos elementos {0,1}. El conjunto que se basa en esta pertenencia extendida se denomina Conjunto Borroso.

Definición 1. Se define Universo de Discurso como el conjunto X de posibles valores que puede tomar la variable x. Se representa:

X={x}

Definición 2. 

La función de pertenencia μ_A(x) de un conjunto borroso A es una función

μA:X→[0,1]

(8)

Así, cualquier elemento x en X tiene grado de pertenencia μ_A(x) ∈ [0,1]. A queda completamente determinado por:

A={(x,μA(x) | x ∈ X}

(9)

Ejemplo 1. Supóngase que alguien quiere describir una clase de animales terrestres veloces, como avestruz, guepardo, caballo, araña, hombre, tortuga y liebre. Algunos de estos animales pertencen definitivamente a esta clase, mientras otros como el caracol o la araña no pertencen. Pero existe otro grupo de animales donde es difícil determinar si son rápidos o no. Utilizando un conjunto borroso, el conjunto borroso para los coches caros es

(Guepardo,1),(Avestruz,1),(Liebre,0.8), (Gacela,0.7), (Gato,0.4). (10)

es decir, la liebre pertenece con grado de 0.8, la gacela con grado de 0.7 y el gato con grado de 0.4 a la clase de animales rápidos.

Si se supone que C es un conjunto clásico finito {x₁,x₂,…,x_n}, entonces una notación alternativa es

C=x1+x2+…+xn

siendo + una enumeración.

A patir de ella, Zadeh propuso una notación más conveniente para conjuntos borrosos.

Ejemplo 2. El conjunto de los coches caros ecuación (10) se describe por:

1/Guepardo+1/Avestruz+0.8/Liebre+0.7/Gacela+0.4/Gato

(11)

es decir, se puede describir el conjunto borroso en la ecuación (9) como sigue:

A = μA(x1)/x1+μA(x2)/x2+…+μA(xn)/xn = n ∑ i=1  μA(xi)/xi (12)

donde el símbolo de división no es más que un separador de los conjuntos de cada par, y el sumatorio es la operación de unión entre todos los elementos del conjunto. El + satisface a/x+b/x=max(a,b)/x, es decir, si el mismo elemento tiene dos grados de pertenencia diferentes 0.8 y 0.6, entonces el grado de pertenencia será 0.8. Se puede escribir cualquier universo discreto en la siguiente forma:

A|= ∑ x ∈ X  |μA(x)/x

(13)

pero cuando X es incontable o es continuo, se describe la ecuación anterior como:

A= ⌠ ⌡ X  μA(x)/x

(14)

Se puede escribir la ecuación (12) y (14) con la notación clásica como sigue:

{μA(x)/x | x ∈ X}

(15)

Ejemplo 3. La figura 1 muestra algunos conjuntos borrosos definidos en el universo de discurso Edad. El conjunto borroso "joven" representa el grado de pertenencia respecto al parámetro juventud que tendrían los individuos de cada edad.

Figure 1: Un ejemplo de conjuntos borrosos

Se puede ver que los conjuntos borrosos se superponen, de manera que un individuo podría tener un grado de pertenencia en dos conjuntos: "joven" y "maduro", indicando que posee cualidades asociadas a ambos conjuntos; el grado de pertenencia de x en A, como ya hemos señalado anteriormente, se representa por μ_A(x). El conjunto borroso A es la unión de los grados de pertenencia para todos los puntos del universo de discurso X, que también puede expresarse como

A= ⌠ ⌡ x  μA(x)/x

(16)

Bajo la notación de los conjuntos borrosos μ_A(x)/x es un elemento del conjunto A. La operación ∫_x representa la unión de los elementos borrosos μ_A(x)/x. Los universos de discurso con elementos discretos utilizan los símbolos + y ∑ para representar la operación unión.

Suele ser conveniente definir un conjunto borroso con la ayuda de alguna fórmula de manera que, por ejemplo, el conjunto "joven" podría expresarse como:

Joven= ⌠ ⌡ 25 0  1+ ⌠ ⌡ 45 25  (2.25−X/20)

(17)

Definición 3. La función Γ:X→[0,1] es una función con dos parámetros definida de la siguiente manera: 

Γ(x,α,β)=| 0 cuando x < α (x−α)/(β−α) cuando α ≤ x ≤ β, 1 cuando x > β

(18)

Se puede ver esta función en la figura 2.

Figure 2: Un ejemplo de la función Γ
Definición 4. Sean A y B dos conjuntos borrosos definidos respectivamente sobre el universo X e Y, y sea la relación borrosa R definida sobre X×Y. El soporte de un conjunto borroso A es el conjunto clásico que contiene todos los elementos de A con los grados de pertenencia que no son cero. Esto se define por S(A).

Se define el soporte de un conjunto borroso A como sigue: 

S(A)={x ∈ X | μA(x) > 0}

(19)

Definición 5. Un conjunto borroso A es convexo si y sólo si X es convexo y 

∀x, y ∈ X  ∀λ ∈ [0,1] | μA(λx+(1−λ)y) ≥  min(μA(x),μA(y))

(20)

Definición 6. Se define la altura de un conjunto borroso A sobre X, que se denota por Alt(A) como: 

Alt(A)= sup x ∈ X  μA(x)

(21)

Un conjunto borroso A se denomina normal, si Alt(A)=1, y es subnormal si Alt(A) < 1.

En la teoría de control borroso, es usual tratar sólo con conjuntos borrosos convexos.

Definición 7. Dado un número α ∈ [0,1] y un conjunto borroso A, definimos el α-corte de A como el conjunto clásico A_α que tiene la siguiente función de pertenencia:

μAα(x)= 1 cuando μA(x) ≥ α 0  en cualquier otro caso

(22)

En definitiva, el α-corte se compone de aquellos elementos cuyo grado de pertenencia supera o iguala el umbral α.

4.2  Operaciones entre Conjuntos Borrosos

Las operaciones como la igualidad y la inclusión de dos conjuntos borrosos derivan de la teoría de conjuntos clásicos. Dos conjuntos borrosos son iguales si cada elemento del universo tiene el mismo grado de pertenencia en cada uno de ellos. El conjunto borroso A es un subconjunto del conjunto borroso B si cada elemento del universo tiene grado de pertenencia menor en A que en B.

Definición 8. Dos conjuntos borrosos son iguales (A=B) sí y sólo sí 

∀x ∈ X:μA(x)=μB(x)

(23)

Definición 9. A es un subconjunto de B (A ⊆ B) sí y sólo sí 

∀x ∈ X:μA(x) ≤ μB(x)

(24)

Los conjuntos borrosos se pueden operar entre sí del mismo modo que los conjuntos clásicos, puesto que los primeros son una generalización del los segundos. La intrepretación con conjuntos borrosos no es tan simple como con conjuntos clásicos porque se usan las características de funciones de pertenencia. Es posible definir las operaciones de intersección, unión y complemento haciendo uso de las mismas funciones de pertenencia. Zadeh propuso lo siguiente []:

Definición 10. La intersección entre dos conjuntos borrosos se representa como sigue: 

∀x ∈ X: μA ∩B(x)=min (μA(x),μB(x))

(25)

Definición 11. La unión entre dos conjuntos borrosos se representa como sigue: 

∀x ∈ X: μA ∪B(x)=max (μA(x),μB(x))

(26)

Definición 12. El complemento de un conjunto borroso se representa como sigue: 

∀x ∈ X: μ―A(x)=1−μA(x)

(27)

Definición 13. Se define el producto de dos conjuntos borrosos A y B como 

μA.B(x)=μA(x).μB(x)    ∀x ∈ X

(28)

Definición 14. Se define la suma de dos conjuntos borrosos A y B como 

μA+B(x)=μA(x)+μB(x)    ∀x ∈ X

(29)

Definición 15. Se dice que una función n:[0,1]→ [0,1] es una función de negación si y sólo si verifica las siguientes propiedades:

1- n(0)=1, n(1)=0 (condición de contorno) 
2- n(x) ≤ n(y) si x ≥ y (monótona)

Se dice también que n es estricta si y sólo si

3- n(x) es continua 
4- n(x) < n(y) si x > y ∀x,y ∈ [0,1]

y que es involutiva si y sólo s

5- n(n(x))=x ∀x ∈ [0,1]

4.3  Normas-t y Normas-s

En realidad, las definiciones anteriores son bastante arbitrarias y podrían haberse definido de muchas otras maneras. Esto implica considerar otras definiciones más generalistas para las operaciones entre los conjuntos borrosos en las que únicamente se atenga a las propiedades de las mismas, parecidas a las que se ven en la teoría clásica de conjuntos. En la actualidad se considera correcto definir el operador intersección mediante cualquier aplicación norma-t y el operador unión mediante cualquier aplicación norma-s (ver Schweitzer y Sklar (1961), (1963) y Weber (1983), que son funciones no decrecientes, de manera que al aumentar uno de los conjuntos también aumente su intersección o su unión.

Definición 16. Norma triangular

Una norma triangular o norma-t es una función t:[0,1]×[0,1]→[0,1] que verifica las siguientes propiedades:

• Es no decreciente en cada argumento:
  Si   x ≤ y y w ≤ z    entonces    t(x,w) ≤ t(y,z)
• Conmutatividad
  t(x,y) = t(y,x),    ∀x,  y ∈ [0,1]
• Asociatividad
  t(t(x,y),z) = t(x,t(y,z)),  ∀x,  y,  z ∈ [0,1]
• Se satisfacen las condiciones de contorno
  t(x,0) = 0  ,  t(x,1) = x  ,    ∀x ∈ [0,1]
• t es una norma de Arquímedes si y sólo si
  - t(x, y) es continua 
  
  - t(x,x) < x ∀x ∈ (0,1)
  
  Y una norma-t de Arquímedes es estricta si y sólo si
  
  - t(x′,y′)<t(x,y) si x′< x, y′< y ∀x′,y′,x,y ∈ (0,1) 
  
  

Las normas-t se utilizan para expresar la intersección entre conjuntos borrosos:

μA ∩ B(x) = t(μA(x),μB(x))

(30)

Se puede decir que el operador mín es una norma-t.

Conorma triangular:

Una conorma triangular se le denomina también conorma-t o norma-s; es una aplicación s:[0,1]×[0,1]→[0,1] que satisface los siguientes requisitos:

• s es no decreciente en cada argumento
• Conmutatividad
• Asociatividad
• Condiciones de contorno
  

  s(x, 0) = x    ,    s(x, 1) = 1,    ∀x ∈ [0, 1]

  (31)

  Las normas-s se utilizan para expresar la unión de conjuntos borrosos:
  

  μA ∪ B(x) = s(μA(x),  μB(x))

  (32)

  Se puede decir que el operador máx es una conorma-t.
• s es una conorma Arquímedes sí y sólo sí:
  - s(x,y) es continua 
  
  - s(x,x) > x ∀x ∈ (0,1)
  
  Y una conorma-t de Arquímedes es estricta sí y sólo si
  - s(x′,y′)< s(x,y) si x′< x, y′< y ∀x′,y′,x,y ∈ (0,1) 
  
  

4.4  Propiedades de Conjuntos Borrosos

Las leyes y propiedades que cumplen los conjuntos clásicos no siempre se cumplen en el caso de los conjuntos borrosos. A continuación se analiza qué leyes verifican los conjuntos borrosos y cuáles no:

• Propiedad conmutativa: siempre se verifica, debido a que las normas-t y las normas-s son conmutativas por definición.
• Propiedad asociativa: también se verifica puesto que las normas-t y las normas-s también son asociativas.
• Leyes de idempotencia: se cumplen si se eligen el mínimo y el máximo como operadores para la intersección y la unión, respectivamente.
• Leyes de absorción : tambien se cumplen si se elige el par mínimo-máximo. Con otras normas no ocurre lo mismo.
• Propiedad distributiva: también se cumple para el mínimo y el máximo, pero no así para otras normas.
• Propiedad del menor y mayor: siempre se cumplen debido a la última propiedad de las normas-t y normas-s.
• Involución del complemento: se cumple si definimos μ_Ā(x)=1−μ_A(x) ya que entonces:
  

  μĀ(x)=1−μA(x)=1−(1−μĀ(x))=μĀ(x)
• Leyes de De Morgan: se garantiza su cumplimiento si las normas-t y normas-s elegidas se derivan la una de la otra: t(x,y)=1−s(1−x,1−y).
• Leyes complementarias: en general no se cumplen. Es quizás la consecuencia más clara para introducir el concepto de borrosidad en los conjuntos.

5. Sistemas Borrosos

5.1  Relaciones borrosas

Como se ha visto, las operaciones de unión, intersección y complemento operan todas ellas en un único universo de discurso. Ahora bien, el producto cartesiano permite productos de universos de discurso.

5.1.1  Producto Cartesiano

Sean X e Y dos universos de discursos cualesquiera. Se define una relación borrosa R entre X e Y como un conjunto borroso cuyo universo es el producto cartesiano X×Y. Es decir:

R={((x,y),  μR(x,y)) | (x,y) ∈ X×Y}

(33)

μR: X×Y→[0,1]

(34)

Si A₁ ⊂ X y A₂ ⊂ Y, y si se define el producto cartesiano de A₁ y A₂ como:

μA1×A2(x,y) = min{μA1(x),μA2(y)}

(35)

Se puede expresar también como:

μA1×A2(x,y) = t{μA1(x),μA2(y)}

(36)

Definición 18. Sean X y Y universos de discursos continuos. Entonces la función

μR(x,y):  X×Y→[0,1]   |   R = ⌠ ⌡ X×Y  μR(x,y)/(x,y)

(37)

es una relación borrosa binaria sobre X×Y. Si X×Y son universos discretos, entonces

R|= ∑ X×Y  μR(x,y)/(x,y)|

(38)

La integral denota los conjuntos de todas las tuplas μ_R(x,y)/(x,y) sobre X×Y. También es posible expresar la ecuación (37) con ∫_X∫_Yμ_R(x,y)/(x,y), esto es con integral doble.

Definición 19. Sean R y S relaciones binarias definidas sobre X×Y. La intersección de R y S se define por:

∀(x,y) ∈ X×Y:μR∩S(x,y)=min(μR(x,y),μS(x,y)).

(39)

Se puede utilizar cualquiera norma-t en lugar del mínimo.

Definición 20. La unión de R y S se define por:

∀(x,y) ∈ X×Y:μR∪S(x,y)=max(μR(x,y),μS(x,y)).

(40)

Se puede utilizar cualquiera norma-s en lugar del máximo.

Definición 21. Se define proyección de una relación borrosa μ_R: X₁×…×X_n→[0,1] sobre el universo de discurso X_i, como

proyxiR(x1,…,xn)= sup ∀xi ∈ Xi  μR(x1,…,xn)

(41)

5.2  Composición de Relaciones

Sea R una relación borrosa en el producto X×Y y S otra relación en Y×Z.

Definición 22. Se define la composición sup-min de estas dos relaciones, denotada por R°S, como la relación borrosa en X×Z cuya función de pertenencia es la siguiente:

μR°S(x,z)= sup y ∈ Y  [min(μ R(x,y),μS(y,z))]

(42)

Definición 23. La composición inf-max, denotada por R×S, se define como:

μR⊗S(x,z)= inf y ∈ Y  [max(μ R(x,y),μS(y,z))]

(43)

Definición 24. Se define la composición sup-producto como la relación borrosa en X×Z cuya función de pertenencia es la siguiente:

μR.S(x,z)= sup y ∈ Y  [μ R(x,y). μS(y,z)]

(44)

Si se generalizan el mínimo y el producto por una norma-t y el máximo por una norma-s, respectivamente, se obtienen las composiciones sup-t e inf-s:

μR°S(x,z)= sup y ∈ Y  [t(μ R(x,y), μS(y,z))]

(45)

μR⊗S(x,z)= inf y ∈ Y  [s(μ R(x,y),μS(y,z))]

(46)

5.3  Razonamiento Aproximado

Al contrario que en la lógica clásica, en la lógica borrosa el razonamiento no es preciso, sino que éste tiene lugar de una manera aproximada. Esto quiere decir que se puede inferir un consecuente aunque el antecedente no verifique la regla plenamente (Razonamiento Aproximado). Dicha consecuencia se parecerá más al consecuente formal de la regla original cuanto mayor sea el grado de cumplimiento de la regla por parte del antecedente. El razonamiento aproximado se resume, generalmente por extensión del razonamiento clásico, en los esquemas de "modus ponens generalizado" y "modus tollens generalizado".

Antecedente 1: Premisa de la regla:

               x ES A^∗

Antecedente 2: Regla:

               SI x ES A ENTONCES y ES B

-------------------------

Consecuente:                 y es B^∗

donde A, B, A^∗ y B^∗ son conjuntos borrosos definidos sobre los universos de discurso X, Y y con funciones de pertenencia μ_A(x), μ_B(y), μ_A^∗(x) y μ_B^∗(y) respectivamente. Se trata del Modus ponens generalizado, que se reduce al modus ponens clásico cuando A=A^∗ y B=B^∗.

La función de implicación se representa mediante una relación borrosa en X×Y:R=A→ B

μA→ B:X×Y→ [0,1]

(47)

Se puede definir esta función de varias formas. Por ejemplo,

1- Implicación de Mamdani:

Con respecto al control borroso esta implicación es la más importante. Su definición se basa de la operación de intersección explicada anteriormente

μA→ B(x,y)=min(μA(x),μB(y))   ∀x ∈ X,   ∀y ∈ Y

(48)

que se puede representar como una norma-t

μA→ B(x,y)=t(μA(x),μB(y))   ∀x ∈ X,   ∀y ∈ Y

(49)

2- Implicación de Zadeh:

La mas extendida es aquella que resuelve primero si A entonces B, si no A entonces C y luego toma A→ B como caso particular en el que C coincide con su universo de discurso,

μ(A→ B)∪(Ā→ C)(x,y) = s(t(μA(x),μB(y)),t(n(μA(x)),μC(y)))    ∀x ∈ X,   ∀y ∈ Y (50)

que se puede escribir como 

μA→ B(x,y)=s(t(μA(x),μB(y)),n(μA(x)))   ∀x ∈ X,   ∀y ∈ Y

(51)

Finalmente, la conclusión B^∗ es un conjunto borroso B^∗=A^∗°(A→ B), expresión que puede evaluarse mediante una generalización del Modus Ponens propuesto por Zadeh:

μB∗(y)=μA∗°R(y)= sup x ∈ X  [min(μ A∗(x),μR(x,y))],   ∀y ∈ Y

(52)

o

μB∗(y)=μA∗°R(y)= sup x ∈ X  [t(μ A∗(x),μA→ B(x,y))],   ∀y ∈ Y

(53)

es decir,

μB∗(y)= sup x ∈ X  t(μA∗(x),s(tμA(x),μB(y)),n(μA(x))))   ∀y ∈ Y

(54)

Un caso más general es el que se compone de un sistema de r₁ reglas, cada una de las cuales es de la forma SI x ES A^i₁ ENTONCES y ES B^i₁

μRi1(x,y) = μAi1×Bi1(x,y) = t(μAi1(x),μBi1(y))   ∀x ∈ X,   ∀y ∈ Y (55)

siendo i₁={1,…,r₁}

μR(x,y)=s(μR1(x,y),…,μRr1(x,y))  ∀x ∈ X,   ∀y ∈ Y

Se comenta finalmente el caso de reglas con dos antecedentes. Sean A, B y C conjuntos borrosos definidos en X, Y y Z respectivamente. La reglas se representan como sigue:
Antecedente 1: Premisa de la regla:

                x ES A^∗ E y ES B^∗

Antecedente 2: Regla:

                SI x ES A^i₁ E y ES B^i₂ ENTONCES z ES C^i₁ i₂

-------------------------

Consecuente:                 z es C^∗

μC∗(z)= = sup ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y  [t(μA∗(x),μB∗(y), μ(A∩B)→C(x,y,z))]  ∀z ∈ Z

(56)

con

μ(A∩B)→ C(x,y,z) =  s(μR11(x,y,z),…,μRr1 r2 (x,y,z))      ∀x ∈ X,   ∀y ∈ Y  ∀z ∈ Z  | (57)

y se puede escribir como

μ(A∩B)→ C(x,y,z)   = si1={1,…,r1},i2={1,…,r2}(μRi1i2(x,y,z))    ∀x ∈ X,   ∀y ∈ Y  ∀z ∈ Z  |

(58)

y

Ri1 i2=(Ai1 ∩Bi2)→ Ci1 i2:

μRi1 i2(x,y,z) = t(μAi1(x),μBi2(y),μCi1i2(z))   ∀x ∈ X,   ∀y ∈ Y  ∀z ∈ Z

(59)