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Incompletud || Incompleteness

Artículo
 
 Editor
F. Salto 
 Contribuciones incorporadas
Salto (4/2010) 
 Ámbito de uso
Transdisciplinar, Lógica, Teoría de la recursión, Semántica formal
 Tipo
Concepto
 Francés
Incompletude
 Alemán Unvollständigkeit

Hay una diferencia básica entre ir acumulando cosas e ir acumulando oraciones. Acumulando cosas, en el sentido más general de la palabra, tenemos conjuntos o clases más grandes, hasta llegar a la clase propia de todo. Diríamos que tal inmensa colección es completa. Pero entonces está privada de contener todas y sólo las colecciones incompletas, por lo que no es completa después de todo.

Acumulando más modestamente sólo las cosas que son oraciones de un lenguaje, en cambio, llegaríamos al conjunto de todas las oraciones posibles, como las que componen la biblioteca de Babel de Borges. Es decir, el conjunto infinito de todo lo finitamente decible en cualquier lenguaje. Este conjunto es una colección completa, pero poco interesante, pues es un caos trivial en el que cualquier cosa decible está dicha.

Acumulemos ahora, más modestamente aún, sólo todas las oraciones verdaderas de un lenguaje. Este es el primer uso útil de completud. Dado un dominio de interpretación y un lenguaje que lo describe, un conjunto de oraciones es modelo-completo si contiene todas y sólo las oraciones de tal lenguaje verdaderas en tal dominio de interpretación. Notar que tanto otros lenguajes con distinto poder expresivo pueden describir ese dominio de interpretación, como éste ser descrito por otros lenguajes. Una definición matemáticamente precisa de “dominio de interpretación” nos lleva a distintas semánticas.

No es fácil hacerse con conjuntos completos de verdades. Acumular todas las verdades acerca de mi dedo meñique puede ser una inmensa tarea. Reunir todas las verdades decibles en oraciones de un lenguaje acerca de mi dedo meñique también es una inmensa tarea. Sin embargo, hay inmensas tareas que podemos realizar con nuestro pequeño cerebro y en poco tiempo. Aprender la gramática de un lenguaje es una de ellas. Sí tenemos un procedimiento recursivo para disponer de las infinitas oraciones gramaticales de un lenguaje. Se trata de aplicar finitas reglas para construir secuencias finitas, aunque haya infinitas de ellas. De esto es un ejemplo también la biblioteca de Babel de Borges, que aprendemos a construir con sólo el alfabeto. Así la sintaxis de los lenguajes es aprendible recursivamente.

Otro procedimento mecánico análogo al de construir oraciones según finitas reglas gramaticales es construir pruebas para oraciones a partir de alguna oración dada. Este es el caso del procedimiento para deducir finitamente unas oraciones de otras, de modo tal que un conjunto infinito de verdades podamos entenderlo como las consecuencias deductivas de un conjunto más pequeño de axiomas.

¿Existe un procedimiento análogo, esto es, computacional o recursivo, para acceder al conjunto de todas y sólo las oraciones verdaderas?

Tomemos ahora el dominio infinito estándar de la aritmética. Esto es, los números naturales. Y sea dado el lenguaje de la aritmética, que todos conocemos de la escuela en su presentación más informal. Tenemos un procedimiento computacional para calcular consecuencias lógicas a partir de los axiomas básicos de la aritmética (descubiertos por Peano y Frege). ¿No tenemos entonces un procedimiento lógico para computar todas las verdades aritméticas? Gödel demostró que no, y su prueba es el primer teorema de incompletud. Esto responde la cuestión de si podemos acceder por medios recursivos a la colección completa de todas las verdades. Adviértase que no responde a la cuestión de si disponemos de métodos no recursivos para acceder a verdades (aritméticas o de otro tipo).


En los anejos se incluye un texto más amplio con varias versiones de la demostración.

 
Referencias 
  • BOOLOS, G.; R. JEFFREY, J. BURGUESS (2002). Computability and Logic. Cambridge: Cambridge University Press.
  • BORGES, J.L. (1996). “La biblioteca de Babel” en: Ficciones, Obras Completas I. Barcelona: Emecé.
  • FITTING, M. (2007). Incompleteness in the Land of Sets. New York, Berlin: Springer.
  • GÖDEL, K. (1931). “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme”. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, 173-198.
  • SALTO, F. (2006). “Verdad y Recursividad.” en: J.M. Méndez (ed.), Artículos de segunda mano. Salamanca: Varona.
  • SMULLLYAN, R. (1992). Gödel's Incompleteness Theorems. New York: Oxford University Press.
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Francisco Salto (4/2010)
 
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